当数学开始谈论自己：范畴论作为一种语言
一、一个为了说清「自然」而造的词
1945 年，Eilenberg 和 Mac Lane 发表了一篇 64 页的论文。他们本来想做的事很具体：给代数拓扑里那个天天在用、却说不清楚的词——自然——一个严格定义。
数学家说「这个同构是自然的」，意思是它不需要任何额外选择，是"自动"的。可"自动"是什么？没定义。
他们为了回答这个问题，造了两样东西：范畴和函子。然后才把"自然变换"定义出来。
结果，那篇论文成了范畴论的起点。
这件事本身值得记一句：范畴论不是为了一统天下而生的，它是为了给一个形容词下定义而生的。一个形容词，最后长成了一门语言。
二、它不描述对象，只描述箭头
先看范畴的定义。一共四样东西：
| 组成 | 是什么 |
|---|---|
| 对象 | 一堆东西，不需要有内部结构 |
| 态射（箭头） | 对象之间的映射，每个有确定的源和靶 |
| 复合 | 两个接得上的箭头，能接成一个 |
| 恒等 | 每个对象上有一个"什么都不做"的箭头 |
外加两条规矩：复合要结合，恒等要中性。
就这些。没有"元素"，没有"属于"，没有"内部"。
一个最省事的例子：偏序集就是范畴。对象是元素，从 $x$ 到 $y$ 有一个箭头当且仅当 $x \le y$。
取 $a < b < c$ 三个对象，全部态射是六个：$(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,c),(c,c)$。
我们验过：恒等齐备、复合封闭、结合律成立。
注意这里发生了什么：$a$ 是什么？不知道。$a$ 内部有什么？没有。$a$ 只知道三件事——它到 $a$ 有箭头，到 $b$ 有箭头，到 $c$ 有箭头。
对象被清空了，只剩下它指向谁、谁指向它。
上一篇讲 Yoneda 时说的是"对象由关系决定"。这里更狠：在这个语言里，对象压根就没有"内部"这个位置。
三、后果：数学第一次能谈论自己
有了范畴，就能定义范畴之间的映射——函子。函子把对象送到对象，把箭头送到箭头，并且保持复合和恒等。
有了函子，就能定义函子之间的映射——自然变换。它是"一族箭头"，满足每个方块都交换。
于是出现了一个以前没有的层级：
对象 → 范畴 → 函子 → 自然变换
（对象的家） （范畴之间的映射） （函子之间的映射）这是数学史上第一次，数学有了一门语言，可以谈论"所有数学结构"而不必逐个谈。
不是"这个群"和"那个群"，是"所有群构成的范畴"；不是"拓扑空间之间的连续映射"，是"拓扑空间范畴到群范畴的函子"。
而且这层抬升可以一直往上：范畴构成范畴（记作 $\mathbf{Cat}$），函子构成范畴，自然变换是那些范畴里的箭头。
函子长什么样：一个能算的例子
光说「映射」太虚。看一个真在用的。
取拓扑空间范畴（对象是空间，箭头是连续映射）与群范畴（对象是群，箭头是同态）。基本群 $\pi_1$ 是一个函子：
| 函子要做什么 | 基本群怎么做 |
|---|---|
| 对象送到对象 | 空间 $X$ 送到群 $\pi_1(X)$ |
| 箭头送到箭头 | 连续映射 $f \colon X \to Y$ 送到同态 $f_* \colon \pi_1(X) \to \pi_1(Y)$ |
| 保持恒等 | $(\mathrm{id}_X)_* = \mathrm{id}_{\pi_1(X)}$ |
| 保持复合 | $(g \circ f)_* = g_* \circ f_*$ |
四条都对，所以它真是个函子。
它有什么用？ 把「两个空间是否同胚」这个几何问题，翻译成「两个群是否同构」这个代数问题。翻译之后可以算。
但翻译会丢东西。 不同的空间可以有同构的基本群——这时候你无法从群反推空间。
这个「丢」不是缺陷，是函子的本性：它保证「同构的空间有同构的群」，但不保证反过来。所以得到的是必要条件，不是充分条件。
这一点第五节还要用到：范畴论的自由，恰恰来自它允许你选择「丢多少」。
「自然」到底是什么：双重对偶
回到开头那个问题。Eilenberg 和 Mac Lane 要定义的「自然」，用这个例子一看就懂。
设 $V$ 是向量空间，$V^*$ 是它的对偶空间。有两个做法都能把 $V$ 映到某个「对偶」上：
做法一：$V \to V^*$。要给出一个具体映射，你必须选一组基——选了基才有坐标去配对。换一组基，映射就变了。这叫不自然。
做法二：$V \to V^{**}$，定义为 $v \mapsto (f \mapsto f(v))$。这里没有任何选择：给你一个 $v$、给你一个 $f$，就把 $f$ 作用在 $v$ 上。换成什么基都一样。
做法二就是「自然」的。
所以 Eilenberg–Mac Lane 的「自然」，精确地说是：不依赖任何选择、能对所有对象同时给出的映射族。这就是自然变换。
顺便一个冷知识：$V \to V^{**}$ 在有限维时是同构，无限维时只是单射。是否同构，恰好接上上一篇那个「自反」的问题。
数学开始谈论自己了。
四、代价：谈论自己会撞墙
但这件事不是免费的。
$\mathbf{Cat}$ ——所有小范畴构成的范畴——它自己不是小范畴。
道理不难看：如果 $\mathbf{Cat}$ 是小范畴，它的对象就是一个集合，装着所有小范畴。那么可以按分离原则挑出"那些不包含自身的小范畴"，用它们造一个新范畴——然后问它是否包含自身。
这就是 1901 年那个悖论，换了一身衣服。
所以范畴论必须一生下来就分大小：小范畴（对象和箭头都是集合）、大范畴（不是）。$\mathbf{Cat}$ 是大范畴。
一门能谈论所有数学结构的语言，不能无代价地谈论"自己的全体"。
这不是技术瑕疵，是结构性的。凡是足够强到能谈论自己的语言，都要在这里划一条线。数学在这里，和逻辑、和自然语言一样，撞上了同一堵墙。
五、最深的自由：你可以选择什么叫「一样」
到这里该说本期真正想说的事。
在集合论里，相等是给定的。两个集合要么相等，要么不等，由外延公理判定：元素一样就相等。
在范畴论里，"一样"是可以选的。至少有三档：
| 档次 | 名字 | 要求 |
|---|---|---|
| 最严 | 严格相等 | 对象完全相同 |
| 中等 | 同构 | 存在一对互逆的箭头 |
| 最松 | 等价 | 存在一个满忠实且本质满的函子 |
前两档在集合论里也有，第三档是全新的。
而且第三档给出的答案常常出人意料。举个能算的例子：
范畴 C：只有一个对象 $\ast$，只有一个箭头 $\mathrm{id}_\ast$。
范畴 D：两个对象 $A, B$，四个箭头——$\mathrm{id}_A$、$\mathrm{id}_B$，以及一对互逆的 $f \colon A \to B$、$g \colon B \to A$（满足 $g \circ f = \mathrm{id}_A$，$f \circ g = \mathrm{id}_B$）。
C 和 D 一样吗？
- 同构？不。范畴同构要求对象之间有双射：1 个对 2 个，做不到。
- 等价？是。取函子 $F$ 把 $\ast$ 送到 $A$。它满忠实（两边 Hom 集都是 1 元集），而且本质满（$B$ 与 $A$ 同构）。
所以：不等价吗？不，等价。一样吗？不一样。
这不是文字游戏。它的意思是：范畴论允许你把"两个对象、彼此同构"和"一个对象"当成同一件事来看。
为什么这是「自由」
因为选择用哪一档，是你自己定的。
如果你在写算法、要实现数据结构，你多半要"同构"甚至"严格相等"——你需要具体的东西。如果你在做分类、在找结构的不变量，你要的是"等价"——具体是哪个实例不重要。
这是自由，但不是随便的自由。一旦你选了"等价"，你就必须只使用那些在等价下不变的性质。你不能一边说"它们一样"，一边又拿"对象个数"作论据。
选哪一档是自由的，选完要守规矩是必须的。
这和上一篇是同一件事的两面：Yoneda 说"对象由关系决定"，这里说"那关系之间的'一样'，也由你自己定义"。自由度不是没有了，是往上挪了一层。
六、回到自由
这一期讲的是语言层的自治。
前几期的自由，是在已有的语言里选：选公理（第 2 期）、选用哪套关系描述对象（第 3 期）。
这一期的自由更深一层：你可以选"什么叫一样"。这是给语言本身立法。
但代价也更深：
- 你造了一门能谈论所有数学结构的语言（$\mathbf{Cat}$）
- 它立刻撞上"不能无代价谈论自己"的墙
- 你必须选一档"一样"，然后一辈子只用这一档
自由越大，要守的规矩越硬。这句话到这里是第三次出现了，而且一次比一次硬。
三个小自测
1. 为什么偏序集能当范畴？它甚至连"映射"都没有。
因为 $x \le y$ 就是一条箭头。只要有源、有靶、能复合（$x \le y$ 且 $y \le z$ 就给 $x \le z$）、有恒等（$x \le x$），范畴的四样东西就齐了。箭头不一定是函数。
2. 如果我用"等价"来看两个范畴，我还能问"这个范畴有几个对象"吗？
不能当不变量用。等价允许对象个数改变（上面 1 个和 2 个的例子）。能问的是"它有几个同构类"——那才是等价不变的。
3. 为什么 $\mathbf{Cat}$ 不能是小范畴？这个限制能绕开吗？
绕不开。凡是能表达"所有小范畴"的集合都会重新生成那个自指结构。可以绕的只有一种方式：换一个更弱的基础（比如不用集合论而用类型论），但那不是绕开，是把墙挪到别处。
最后一句
范畴论的野心，是让数学用一门语言谈论自己。
它做到了，但做到的方式很有意思：它不是给数学拍一张全景照，而是给数学造了一套描述"怎么连"的语法。
而语法有一个特点：它能说的，永远比它说出来的多。这就是为什么到了这一步，数学还需要别的东西——下一步要谈的，是那件东西在翻译中丢掉的部分。
如果你只记住一句：范畴论的自由，在于它允许你重新定义什么叫「一样」。这是它给数学最大的一份礼物，也是最难守住的一份。